Ableiten von Splines (3D-Kzg)

Mit den Funktionen

• Kubischer Spline
• AKIMA-Spline und
• B-Spline/NURBS

lassen sich aus Streckenzügen Splines ableiten. Spline-Kurven haben die Eigenschaft, mit minimaler Krümmungsänderung exakt durch die Stützpunkte zu gehen oder sich möglichst glatt an ihnen "vorbeizuschlängeln". Die Algorithmen zur Berechnung von Spline-Kurven gehören zu den leistungsfähigsten Interpolationsverfahren.

Hinweise:

• Der Spline liegt anschließend auf dem Originalkantenzug. Um Splines zu approximieren, wählen Sie unter Skizze > Sonstiges > Kantenzüge bearbeiten die Funktion Approximieren.
• Die Feinheit der Spline-Darstellung ändern Sie mit den Funktionen des Menüs Freiformkurvendarstellung unter Skizze > Sonstiges > Kanteneinstellung.

Kubischer Spline

Skizze > Freih... > Kubischer Spline

Der kubische Spline ist ein Polynom 3. Grades, das durch die Stützstellen des Originalkantenzuges geht. Die einzelnen Segmente/Abschnitte des Polynoms zwischen den Stützstellen berühren sich an den Stützstellen "ohne Knick". Sie erhalten einen zweimal stetig differenzierbaren, glatten Spline ohne explizite Vorgabe von Tangentialbedingungen. Ein kubischer Spline ist interpolierend!

Wenn der Streckenzug geschlossen ist, wird der Kurvenzug automatisch im gemeinsamen Anfangs- und Endpunkt mit einem glatten Übergang geschlossen.

Mit der Funktion Kubischer Spline tang. wird ebenfalls ein kubischer Spline erzeugt, jedoch ist die 1. Ableitung an den beiden Randpunkten gleich der Richtung zwischen zwei aufeinander folgenden Punkten des Original-Streckenzuges. Das bedeutet, dass die Richtungen der ersten und letzten Kante des geglätteten Streckenzuges mit den Richtungen der ersten und letzten Kante des Original-Kantenzuges übereinstimmen.

links: Kubischer Spline, rechts: Kubischer Spline, tangential

AKIMA-Spline

Skizze > Freih... > AKIMA-Spline  

Der AKIMA-Spline ist im Gegensatz zum kubischen Spline lokal. Es werden zwar auch Polynome 3.Grades verwendet, die aber im gesamten Definitionsbereich nur einmal stetig differenzierbar sind. Dadurch wird der neue Kantenzug nur durch die Stützstellen in der unmittelbaren Nachbarschaft bestimmt.

Das Verschieben einer Stützstelle beeinflusst den Kantenzug nur lokal. Insbesondere wird ein größerer geradliniger Bereich über viele Stützstellen in diesem Bereich exakt reproduziert. Im Unterschied dazu zeigt der kubische Spline ein welligeres Verhalten.

B-Spline/NURBS

Skizze > Freih... > B-Spline/NURBS  

Ein B-Spline entsteht über eine Folge bzw. ein Netz von de Boor-Punkten, auch Kontrollpunkte genannt. Der Streckenzug durch diese Punkte bildet das de Boor-Polygon bzw. Kontroll-Polygon. Ein B-Spline  ist lokal, d. h. Änderungen wirken sich nur in einem gewissen Parameterbereich aus. Somit können beliebig viele B-Spline-Funktionen zu einer B-Spline-Kurve gekoppelt werden. B-Splines sind nicht interpolierend.

NURB-Kurven (Non Uniform Rational B-Spline) sind rationale B-Spline-Kurven. Mit ihnen sind vielfältige weitere Gestaltungsmöglichkeiten von Kurvenzügen möglich. NURB-Kurven können an den Kontrollpunkten mit Gewichten versehen werden. Sie sind analog den B-Spline-Kurven aufgebaut. Beträgt das Gewicht an den Kontrollpunkten 1, geht die rationale B-Spline-Kurve in einen gewöhnlichen B-Spline über. Umgekehrt wird jede B-Spline-Kurve zur NURB-Kurve, wenn ihren Kontrollpunkten Gewichte zugeordnet werden.

links: B-Spline, rechts: Der B-Spline-Kurve sind an den markierten Punkten Gewichte zugeordnet worden. Das Ergebnis ist eine NURB-Kurve.

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